【生後9ヶ月】発熱を繰り返しています

6月2日で9ヶ月になった息子の事です。

5月23日に咳と鼻水が出始め、24日に39.4の発熱
その後夜になると39度の発熱を数日繰り返し、28、29日は発熱もなく落ち着いていました。
しかし30日久しぶりに保育園に行った日の夜再度39度の発熱。
2日には血液検査をし、CRP1.9 だったものの、白血球数が22000強でした。
LDRもやや高め。
しかし2日の日にもらった3種類目の抗生剤(メイアクト)をのんでから症状が落ち着き、
夜の発熱もその日はなかったのですが、3日夜にはまた39度の発熱。
翌朝にはいったん落ち着いたものの、午後にはまた39度。
このときはぐったりして、うなされていてしんどそうでした。
(それまでは、高熱でも割と動いていた)
今朝はまた下がって36度台です。
食欲は常にあります。離乳食は余り食べたくない様子ですが・・・ミルクはごくごくと。

何が起きているのでしょうか・・・
咳と鼻水も、改善悪化を繰り返しています。
違う風邪を繰り返しひいてるだけですか?

白血球数が高いとのことで、素人考えで白血病が頭をよぎり、恐いです。

この後かかりつけに再診しようと思っていますが、大きい病院での検査を希望しようか迷っています。
どの程度心配なのか、どんな可能性があるのか、教えてください。